Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(n+1)^{3}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A série dada é \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(n+1)^{3}}.
  • A pergunta: determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e justificar.

Passo 2

Definições e resultados que vou usar (explicados de forma direta):
  • Dizemos que uma série \displaystyle \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \displaystyle \sum |a_n| converge.
  • Se \displaystyle \sum a_n converge mas \displaystyle \sum |a_n| diverga, dizemos que ela é condicionalmente convergente.
  • Se \displaystyle \sum a_n não converge, dizemos que é divergente.
  • Teorema útil (série p): a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=3 é maior que 1, então \displaystyle \sum \frac{1}{n^{3}} converge.

Passo 3

Testando a convergência absoluta: considerar a série de módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{1}{(n+1)^{3}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3}}.
Comparação com a série p conhecida: para todo n\ge1 vale
0<\frac{1}{(n+1)^{3}}\le\frac{1}{n^{3}},
pois n+1\ge n implica (n+1)^{3}\ge n^{3} e, invertendo, 1/(n+1)^{3}\le1/n^{3}. Como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (p‑série com p=3>1), pelo teste da comparação a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3}} também converge.

Passo 4

Conclusão a partir da convergência absoluta: como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3}} converge, a série original é absolutamente convergente por definição (isto é, \displaystyle \sum |a_n| converge). Lembrando um fato padrão: toda série absolutamente convergente é convergente (a convergência absoluta implica convergência).
Comentário didático adicional (útil para prova): também poder-se-ia aplicar o teste de Leibniz (teste para séries alternadas) para ver diretamente a convergência. Definindo b_n=\dfrac{1}{(n+1)^3}, nota-se que b_n\searrow0 (é positiva, monotona decrescente e tem limite 0), logo a série alternada \displaystyle \sum(-1)^n b_n converge. Mas esse teste dá apenas convergência; o que confirmou a convergência absoluta foi o teste da comparação com a p‑série.

Passo 5

Resumo final e dica prática: como os módulos formam uma p‑série deslocada que converge, a série original converge de forma absoluta. Em provas, quando vir um fator (n+\text{const})^{p} com p>1 no denominador, pensar imediatamente em p‑série para testar convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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