Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos n}{n^{2}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\cos n}{n^{2}}.
  • Para todo inteiro n vale -1\le \cos n\le 1, logo |\cos n|\le 1.
    As perguntas que devemos responder são: (i) a série de termos a_n converge? (ii) a série converge absolutamente (ou seja, \sum |a_n| converge) ou só condicionalmente?

Passo 2

Definições e ideia do método que usaremos (sem resolver ainda):
  • Dizemos que a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, dizemos que é condicionalmente convergente.
  • Um teste útil aqui é o teste da comparação: se 0\le b_n\le c_n para todos n a partir de algum N e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge.
    Vou aplicar esse teste à série dos módulos \sum |a_n|=\sum \dfrac{|\cos n|}{n^2}, comparando com uma série conhecida que converge.

Passo 3

Escrevendo o módulo do termo geral e usando que |\cos n|\le 1:
0\le \frac{|\cos n|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}},\qquad \text{para todo } n\ge 1.
Isso fornece uma comparação direta entre \dfrac{|\cos n|}{n^{2}} e a sequência positiva \dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Agora analisamos a série comparadora \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}.
  • Esta é a série-p com expoente p=2.
  • É um resultado clássico (pode ser visto pelo teste da integral ou por resultados conhecidos) que a série-p \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • Como p=2>1, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge. (Por exemplo, pelo teste da integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=1<\infty, portanto a série converge.)

Passo 5

Aplicando o teste da comparação (Passo 3 com a convergente do Passo 4):
  • Como 0\le \dfrac{|\cos n|}{n^{2}}\le \dfrac{1}{n^{2}} e \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos n|}{n^{2}}
converge também. Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos n}{n^{2}} é absolutamente convergente.

Passo 6

Conclusão final e observação útil:
  • Absoluta convergência implica convergência. Portanto a série dada converge e, de fato, de forma absoluta.
  • Não é preciso recorrer a testes mais sofisticados (como Dirichlet) porque a comparação com a série-p é suficiente e simples.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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