Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações úteis dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo inteiro
vale , logo .
As perguntas que devemos responder são: (i) a série de termosconverge? (ii) a série converge absolutamente (ou seja, converge) ou só condicionalmente?
Passo 2
Definições e ideia do método que usaremos (sem resolver ainda):
- Dizemos que a série
é absolutamente convergente se a série dos módulos converge. - Se
converge mas diverge, dizemos que é condicionalmente convergente. - Um teste útil aqui é o teste da comparação: se
para todos a partir de algum e converge, então também converge.
Vou aplicar esse teste à série dos módulos, comparando com uma série conhecida que converge.
Passo 3
Escrevendo o módulo do termo geral e usando que
:
Isso fornece uma comparação direta entre
e a sequência positiva
.
Passo 4
Agora analisamos a série comparadora
.
- Esta é a série-p com expoente
. - É um resultado clássico (pode ser visto pelo teste da integral ou por resultados conhecidos) que a série-p
converge se, e somente se, . - Como
, a série converge. (Por exemplo, pelo teste da integral: , portanto a série converge.)
Passo 5
Aplicando o teste da comparação (Passo 3 com a convergente do Passo 4):
- Como
e converge, segue que
converge também. Logo a série original
é absolutamente convergente.
Passo 6
Conclusão final e observação útil:
- Absoluta convergência implica convergência. Portanto a série dada converge e, de fato, de forma absoluta.
- Não é preciso recorrer a testes mais sofisticados (como Dirichlet) porque a comparação com a série-p é suficiente e simples.
Resposta
A série é absolutamente convergente.