Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty(-1) n!2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1),n!2^n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste do termo geral e o teste da razão, que são ferramentas padrão para séries com fatores fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Aplicamos o teste do termo geral, que diz que, se limntoinftyanneq0, a série diverge. Aqui
an = (-1),n!2^n+1
e portanto
limntoinftyan = limntoinftyl(-1r)n!2^n+1 =-inftyneq0
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Para reforçar, podemos aplicar o teste da razão na série dos valores absolutos lvert anrvert = n!/2^n+1. Calculamos
limntoinftylvert an+1rvertlvert anrvert =limntoinfty(n+1)!2^n+2n!2^n+1 =limntoinftyn+12 =infty>1
Como a razão é maior que 1, até mesmo a série de valores absolutos diverge, confirmando que a série original não é absolutamente convergente.

Resposta

A série é divergente.

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