Questão 1 - A meia-vida de uma substância radioativa é de 3200 anos. Determine a quantidade Q(t) da substância restante no tempo t>0, dado que Q(0)=20 g.

Passo 1

E aí, temos uma substância radioativa cuja meia‐vida é de 3200 anos e a quantidade inicial é Q(0)=20 g. O conteúdo aqui é decaimento exponencial, e para resolver vamos usar a fórmula geral
Q(t)=Q0,e^-k t
e a definição de meia‐vida para determinar a constante k.

Passo 2

Na teoria do decaimento radioativo, a velocidade com que a substância some é proporcional à quantidade que resta. Isso vira a equação diferencial
dQdt = -,k,Q,
cuja solução é
Q(t)=Q0,e^-k t,
onde Q0=20 g é a quantidade inicial e k>0 é a constante de decaimento que ainda não sabemos.

Passo 3

Por definição, a meia‐vida T1/2=3200 anos é o tempo em que Q cai para metade, isto é:
Q(3200)=Q02=202=10 g
Pela solução do modelo:
Q(3200)=20,e^-kcdot 3200=10 Longrightarrow e^-3200k=tfrac12 Longrightarrow -3200k=lnl(tfrac12r)=-ln2 Longrightarrow k=ln23200
Substituindo k em Q(t)=20,e^-k t, fica:
Q(t)=20,e^-ln23200,t
e, usando a propriedade e^ln2,(x)=2^x, também pode ser escrito como
Q(t)=20cdot2^-t3200

Resposta

Q(t)=20,e^-ln(2)3200,t ou Q(t)=20cdot2^-t3200

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