Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear homogênea de
ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica, obter a solução geral e então aplicar as condições iniciais. Por fim, analisaremos o comportamento quando
.
Passo 2
Formamos a equação característica
O discriminante é
logo as raízes são
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
Passo 4
Impondo
vem
Para
, primeiro calculamos
Em
isso dá
Passo 5
Substituindo
e
obtemos a solução explícita
Passo 6
Como há o fator
, que tende a zero quando
, a solução decai para zero de forma oscilatória.
Resposta
E conforme
,
(decayimento oscilat’orio).