Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+y prime+1.25 y=0 y(0)=3 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' + 1,25,y = 0, y(0)=3,;y'(0)=1
que é uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica, obter a solução geral e então aplicar as condições iniciais. Por fim, analisaremos o comportamento quando ttoinfty.

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 + r + 1,25 = 0
O discriminante é
De<a = 1 - 4cdot1cdot1,25 = -4,
logo as raízes são
r = -1 pm raiz-42 = -tfrac12 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -tfrac12pm i, a solução geral é
y(t) = e^-t/2l(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Impondo y(0)=3 vem
y(0)=A=3
Para y'(0)=1, primeiro calculamos
y'(t)=ddtl[e^-t/2(Acos t + Bsin t)r] = e^-t/2l[-tfrac12(Acos t + Bsin t)-Asin t + Bcos tr]
Em t=0 isso dá
y'(0)=-tfrac12A + B = 1 Longrightarrow B = 1 + tfrac12A = 1 + tfrac32 = tfrac52

Passo 5

Substituindo A=3 e B=tfrac52 obtemos a solução explícita
y(t) = e^-t/2l(3cos t + tfrac52sin tr)

Passo 6

Como há o fator e^-t/2, que tende a zero quando ttoinfty, a solução decai para zero de forma oscilatória.

Resposta

y(t) = e^-t/2l(3cos t + tfrac52sin tr),
E conforme t to infty, y(t) to 0 (decayimento oscilat’orio).

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