Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty(-1)^n 5^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,5^2n+1(2n+1)!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos testar primeiro a convergência absoluta, usando o teste da razão na série dos módulos dos termos.

Passo 2

Defina
an = 5^2n+1(2n+1)!
Aplicando o teste da razão, considere
L ;=;limntoinftyan+1an =limntoinfty 5^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!5^2n+1/(2n+1)! =limntoinfty5^2n+3(2n+3)!,(2n+1)!5^2n+1 =limntoinfty5^2(2n+2)(2n+3)
Como
5^2(2n+2)(2n+3)to0<1,
o teste da razão assegura que sum an converge.

Passo 3

Como a série dos módulos sum an converge, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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