Questão 18 - Dada a equação y^prime=(y^2-1)(y+3)^2(e^y^2) indique se:
a) É de primeira ordem?
b) É linear na variável y?
c) É de variável separável? se sim, separe as variáveis.
d) É exata?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = (y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2
e pede para verificar: a ordem, se é linear em y, se é separável (e separar variáveis) e se é exata. Vamos aplicar as definições de cada um desses conceitos.

Passo 2

Verificamos a ordem da equação contando a maior derivada presente. Aqui só aparece y'=dfracdydx, sem derivadas de ordem superior. Logo, é uma equação de primeira ordem.

Passo 3

Uma equação de primeira ordem é linear em y se pode ser escrita na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui temos
dydx = (y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2,
que envolve potências e exponenciais de y. Não se encaixa na forma linear porque não é da forma P(x),y+Q(x). Portanto, a equação é não linear em y.

Passo 4

Para verificar se é separável, observamos que o lado direito depende só de y. Podemos escrever
dydx = f(y)Longrightarrow dyf(y) = dx
No nosso caso,
f(y) = (y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2,
então a separação fica
dy(y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2 = dx

Passo 5

Para testar exatidão, colocamos em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Reescrevendo
-,(y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2,dx + 1cdot dy = 0,
temos M(x,y) = -,(y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2 e N(x,y)=1. Calculamos
partial Mpartial y ;neq; partial Npartial x=0,
pois partial M/partial y é diferente de zero. Logo, não é exata.

Resposta

a) Sim.
b) Não.
c) Sim. As variáveis se separam em
dy(y^2 - 1),(y+3)^2,e^y^2 = dx
d) Não.

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