Questão 17 - Encontre o valor de a de modo que a EDO seja exata e resolva:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a de modo que a equação diferencial
l(a,y^3-y,e^xr),dx+l(21,x,y^2+6,y-e^xr),dy=0
seja exata, e em seguida resolver essa EDO exata. Vamos usar a condição de exatidão
partial M/partial y=partial N/partial x e depois encontrar a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=a,y^3-y,e^x, N(x,y)=21,x,y^2+6,y-e^x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=3,a,y^2-e^x, partial Npartial x=21,y^2-e^x
Para exatidão, igualamos
3,a,y^2-e^x=21,y^2-e^x Longrightarrow 3,a,y^2=21,y^2 Longrightarrow a=7

Passo 3

Com a=7, a EDO é exata. Procuramos phi tal que phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integrall(7,y^3-y,e^xr),dx =7,x,y^3-y,e^x+h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Usamos phiy=N. Calculamos
phiy=21,x,y^2-e^x+h'(y)
e igualamos a N=21,x,y^2+6,y-e^x. Logo
21,x,y^2-e^x+h'(y)=21,x,y^2+6,y-e^x Longrightarrow h'(y)=6,y Longrightarrow h(y)=3,y^2

Passo 5

Substituindo h(y) em phi, obtemos a solução implícita
phi(x,y)=7,x,y^3-y,e^x+3,y^2=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

a=7 e a solução geral é
7,x,y^3-y,e^x+3,y^2=C

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