Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
sumn=1^infty(-1)^n 6^n5^n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,6^n5^n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar: (i) reconhecimento de série geométrica e (ii) o teste necessário de convergência de séries (termo geral deve tender a zero).

Passo 2

Reescrevendo a série, fatoramos 1/5:
sumn=1^infty(-1)^n,6^n5^n+1 =15sumn=1^inftyl(-65r)^n
Isso é uma série geométrica de razão r=-tfrac65.

Passo 3

Para que qualquer série convergente tenha convergência, seu termo geral an deve satisfazer limntoinftyan=0. Aqui
an=(-1)^n,6^n5^n+1 Longrightarrow |an|=6^n5^n+1=15l(65r)^n
Como tfrac65>1, |an|toinfty e, em particular, annotto0. Assim a série diverge.

Passo 4

Note também que a série dos valores absolutos é
sumn=1^infty|an| =15sumn=1^inftyl(65r)^n,
que é geométrica com razão tfrac65>1 e, portanto, diverge. Logo não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

A série diverge.

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