Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n n!10 n;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=1^infty(-1)^nn!10,n. O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries (teste da divergência, série alternante, teste da razão) e vamos precisar reescrever o termo geral e verificar se ele tende a zero e se a série absoluta converge.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a convergência absoluta. Considere an = (-1)^nn!10n. Então
|an| = n!10n = (n-1)!10

Passo 3

Aplicando o teste da razão em sum |an|:
L = limntoinfty|an+1||an| = limntoinftyn!10(n-1)!10 = limntoinftyn = +infty > 1

Passo 4

Como L>1, a série de termos positivos sum|an| diverge, ou seja, não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, mesmo sendo alternante, para convergir uma série é necessário que o termo geral an tenda a zero. Aqui
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n(n-1)!10 = pminfty,
não há convergência do termo a zero, logo a série não converge nem condicionalmente. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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