Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n-1 1(n+1)^3 / 4;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-11(n+1)^3/4. Vamos precisar dos critérios de p-série (para a convergência absoluta) e do teste de Leibniz (para séries alternadas).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos sumn=1^inftyl|(-1)^n-11(n+1)^3/4r|=sumn=1^infty1(n+1)^3/4. Isso é uma p-série com expoente p=3/4. Como p<=1, essa série diverge.

Passo 3

Para ver se há convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos an=1/(n+1)^3/4. Observamos que an>0, an+1 (função decrescente) e limntoinftyan=0. Logo, pela convergência do critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Concluímos que a série não converge absolutamente (série de módulos diverge), mas converge como série alternada. Portanto, temos convergência condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente (converge, mas não absolutamente).

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