Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente. ;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série alternada . Vamos precisar dos critérios de p-série (para a convergência absoluta) e do teste de Leibniz (para séries alternadas).
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos . Isso é uma p-série com expoente p=3/4. Como p<=1, essa série diverge.
Passo 3
Para ver se há convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos an=1/(n+1)^3/4. Observamos que an>0, an+1 (função decrescente) e limntoinftyan=0. Logo, pela convergência do critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Concluímos que a série não converge absolutamente (série de módulos diverge), mas converge como série alternada. Portanto, temos convergência condicional.
Resposta
A série é condicionalmente convergente (converge, mas não absolutamente).