A função t=0 pode ser solução, em um intervalo contendo y^prime prime+p(t) y+q(t) y=0, de uma equação da forma com coeficientes contínuos? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função y=sen(t²) pode satisfazer, num intervalo contendo t=0, uma EDO linear homogênea de segunda ordem y’’+p(t)y’+q(t)y=0 cujos coeficientes p e q sejam contínuos.

Passo 2

Vamos avaliar os valores iniciais em t=0 para y e y’. Temos y(0)=sen(0²)=0. Também
Calculamos y’(t)=2t·cos(t²), logo y’(0)=2·0·cos(0)=0. Portanto os dados iniciais são y(0)=0 e y’(0)=0.

Passo 3

Pelo Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem, se p(t) e q(t) são contínuas num intervalo contendo t=0, então a única solução que satisfaz y(0)=0 e y’(0)=0 é a solução trivial y(t)≡0.

Passo 4

Como sen(t²) não é identicamente zero nesse intervalo, chegamos a uma contradição. Logo não existem p e q contínuas que façam y=sen(t²) resolver y’’+p(t)y’+q(t)y=0 numa vizinhança de t=0.

Resposta

Não, pois y(0)=y’(0)=0 implicaria, por unicidade, que a única solução é y≡0, mas y=sen(t²) não é a solução trivial.

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