Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente.
sumn=0^+infty(-1)^n n^23^n;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=0^infty(-1)^nn^23^n e decidir se ela é absolutamente convergente, apenas convergente (condicional) ou divergente. O conteúdo envolve séries numéricas, teste da razão para convergência absoluta e, subsidiariamente, série alternante.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, vamos considerar a série de termos não negativos
sumn=0^infty|(-1)^nn^23^n| = sumn=0^inftyn^23^n
Aplicando o teste da razão, definimos an=n^2/3^n e calculamos
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty(n+1)^2/3^n+1n^2/3^n = limntoinfty(n+1)^23,n^2 = 13
Como L=1/3<1, a série sum n^2/3^n converge. Logo, a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Se uma série é absolutamente convergente, ela também converge no sentido usual (convergência incondicional). Portanto, sem precisar do teste para séries alternantes, concluímos que sumn=0^infty(-1)^nn^23^n é absolutamente convergente e, consequentemente, convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).

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