Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n^2n!;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n^2n! é absolutamente convergente, apenas convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em especial o teste da razão.

Passo 2

Como os termos an = n^2n! são todos positivos, a convergência absoluta coincide com a convergência simples. Podemos aplicar o teste da razão para verificar a convergência.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2(n+1),n^2 = n+1n^2 = 1n + 1n^2

Passo 4

Tomando o limite quando n to infty, temos
limntoinfty an+1an = limntoinfty l(1n + 1n^2r) = 0 < 1

Passo 5

Pelo teste da razão, se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).

Exercícios relacionados