Obtenha a forma fraca do seguinte problema não linear a valores no contorno e identifique as suas variáveis primária e secundária:
& -dd x(u dd x u)+f=0, 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o problema não linear
-ddxl(u,u'(x)r) + f(x) = 0, 0
com as condições de contorno u'(0)=0 (Neumann) e u(1)=raiz2 (Dirichlet). O objetivo é obter a forma fraca e identificar as variáveis primária e secundária.

Passo 2

Definimos o espaço de trial functions (funções de solução) e test functions (funções de prova):
V = uin H^1(0,1):u(1)=raiz2, V0 = vin H^1(0,1):v(1)=0
Aqui H^1 é o espaço de funções com derivada quadrado-integrável.

Passo 3

Multiplicamos a equação forte por um teste vin V0 e integramos em [0,1]:
integral0^1l(-ddx(u,u') + fr)v,dx = 0
Em seguida separamos as parcelas:
-integral0^1ddx(u,u'),v,dx + integral0^1 f,v,dx = 0

Passo 4

Aplicamos integração por partes à primeira integral:
-integral0^1ddx(u,u'),v,dx = -l[(u,u'),vr]0^1 + integral0^1 u,u',v',dx
Pelas condições de contorno temos em x=0 que u'(0)=0 e em x=1 que v(1)=0, de modo que o termo de contorno some. Então a forma fraca fica:
integral0^1 u,u',v',dx + integral0^1 f,v,dx = 0
ou, de forma equivalente,
integral0^1 ududxdvdx,dx = -integral0^1 f,v,dx

Passo 5

A variável primária (incógnita) é u(x). A variável secundária (fluxo) definimos por
q(x) = u(x)dudx(x),
pois aparece naturalmente no termo divergente da PDE.

Resposta

Forma fraca: encontrar uin V tal que para todo vin V0
integral0^1 ududxdvdx,dx = -integral0^1 f,v,dx
Variável primária: u(x). Variável secundária (fluxo): q(x)=u(x),u'(x).

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