Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
com
. O conteúdo central é mudança para coordenadas polares e o cálculo de uma integral do tipo
.
Passo 2
A região de integração em
é o triângulo
. Em coordenadas polares definimos
,
e o Jacobiano é
. No primeiro quadrante e abaixo de
temos
e, como
, vem
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em polares, notando que
e incluindo o fator
do Jacobiano, obtemos
Passo 4
Agora integramos em
:
Logo a integral vira
Passo 5
Para a parte angular, usamos a primitiva conhecida:
Avaliando de
a
dá
Passo 6
Multiplicando pelo fator
, chegamos ao resultado final:
.