Passe para coordenadas polares e calcule
.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla integral0^al[integral0^xraizx^2+y^2,dyr]dx com a>0. O conteúdo central é mudança para coordenadas polares e o cálculo de uma integral do tipo integralsec^3theta,dtheta.

Passo 2

A região de integração em (x,y) é o triângulo 0<= y<= x<= a. Em coordenadas polares definimos x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano é r. No primeiro quadrante e abaixo de y=x temos 0<=theta<=pi/4 e, como x=rcostheta<= a, vem 0<= r<= a/costheta.

Passo 3

Reescrevendo a integral em polares, notando que raizx^2+y^2=r e incluindo o fator r do Jacobiano, obtemos
integral0^aintegral0^xraizx^2+y^2,dy,dx =integral0^pi/4integral0^a/costhetarcdot r,dr,dtheta =integral0^pi/4integral0^a/costhetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^a/costhetar^2,dr =[tfracr^33]0^a/costheta =a^33,cos^3theta
Logo a integral vira
a^33integral0^pi/4sec^3theta,dtheta

Passo 5

Para a parte angular, usamos a primitiva conhecida:
integralsec^3theta,dtheta =tfrac12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r)+C
Avaliando de 0 a pi/4
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =12l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Passo 6

Multiplicando pelo fator a^3/3, chegamos ao resultado final: a^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r).

Resposta

a^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

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