Passe para coordenadas polares e calcule
.

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla
integral0^1l[integral0^raizx - x^2 x,dyr]dx
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando as fórmulas x = rcostheta, y = rsintheta e o jacobiano r.

Passo 2

Para ver a região D no plano, note que
y <= raizx - x^2 iff y^2 + (x - tfrac12)^2 = tfrac14,
o que descreve a metade superior do círculo de raio 1/2 centrado em (1/2,0). Em polares essa borda satisfaz
(rcostheta - tfrac12)^2 + (rsintheta)^2 = tfrac14 implies r = costheta
Como y >= 0, temos 0 <= theta <= tfracpi2 e 0 <= r <= costheta.

Passo 3

Substituindo na integral, o elemento de área é dA = r,dr,dtheta e x = rcostheta, então
integral duplaD x,dA = integral0^pi/2integral0^costheta(rcostheta),r,dr,dtheta = integral0^pi/2integral0^costhetar^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral em r:
integral0^costhetar^2,dr = (costheta)^33
Então a integral vira
integral0^pi/2cos^3theta3costheta,dtheta = 13integral0^pi/2cos^4theta,dtheta

Passo 5

Para integral0^pi/2cos^4theta,dtheta a gente usa a fórmula de redução ou conhece que vale 3pi/16. Logo
integral0^1l[integral0^raizx - x^2x,dyr]dx = 13cdot3pi16 = pi16

Resposta

tfracpi16

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