Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
A gente quer calcular a integral dupla
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando as fórmulas
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Para ver a região
no plano, note que
o que descreve a metade superior do círculo de raio
centrado em
. Em polares essa borda satisfaz
Como
, temos
e
.
Passo 3
Substituindo na integral, o elemento de área é
e
, então
Passo 4
Calcule primeiro a integral em
:
Então a integral vira
Passo 5
Para
a gente usa a fórmula de redução ou conhece que vale
. Logo