Determine uma solução aproximada para o problema abaixo por meio do método de Rayleigh-Ritz. Empregue no máximo dois polinômios como funções de aproximação definidas no intervalo 0.
& -dd x((1+x) dd x u)=0, 0
É dada a forma fraca do problema:
integral0^1(1+x) d wd x d ud x d x=((1+x) w d ud x)|0 ^1

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos o BVP
-ddxl((1+x)u'(x)r)=0, 0
com condições de contorno u(0)=0 e u(1)=1. Vamos usar o método de Rayleigh–Ritz e até duas funções polinomiais de correção que satisfaçam as condições de contorno homogêneas.

Passo 2

Escolha da forma aproximada: para impor u(0)=0 e u(1)=1 escrevemos
uapx(x)=u0(x)+a1psi1(x)+a2psi2(x),
onde escolhemos
u0(x)=x,psi1(x)=x(1-x),psi2(x)=x(1-x)^2
Aqui u0 satisfaz as BC não-homogêneas e as psii anulam em 0 e 1.

Passo 3

Montagem do sistema pelo enunciado da forma fraca: como psii(0)=psii(1)=0, os termos de contorno somem e exigimos para i=1,2
integral0^1(1+x)psii'(x)l(u0'(x)+a1psi1'(x)+a2psi2'(x)r),dx=0

Passo 4

Cálculo das integrais: derivamos
psi1'(x)=1-2x,psi2'(x)=1-4x+3x^2,
e obtemos os coeficientes
$$A_{11}=\tfrac12,\quad A_{12}=\tfrac{13}{60},\quad A_{22}=\tfrac16,\quad B_1=\tfrac16,\quad B_2=\tfrac1{12}.
$$

Passo 5

Resolução do sistema linear
0.5,a1+tfrac1360,a2=tfrac16, tfrac1360,a1+tfrac16,a2=tfrac112
leva a
$$a_1=\tfrac{35}{131},\quad a_2=\tfrac{20}{131}.
$$

Resposta

A aproximação de Rayleigh–Ritz é
uapx(x)=x+35131,x(1-x)+20131,x(1-x)^2

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