lim (x, y) (0,0) x y-yx^2-x+2 x y-2 y

Passo 1

Temos o limite lim(x,y)to(0,0)xy-yx^2 - x + 2xy - 2y. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar fatoração para simplificar e depois testar se o resultado depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Observe que o numerador e o denominador têm um fator comum. Primeiro, fatoramos o numerador:
xy - y = y,(x - 1)
No denominador, agrupamos termos de modo a evidenciar o mesmo fator (x-1)):
x^2 - x + 2xy - 2y = x(x - 1) + 2y(x - 1) = (x - 1)(x + 2y)

Passo 3

Como em torno de (0,0) temos xneq1, podemos cancelar o fator (x-1)) e obter a forma simplificada:
xy - yx^2 - x + 2xy - 2y = y(x - 1)(x - 1)(x + 2y) = yx + 2y

Passo 4

Agora precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)yx+2y é independente do caminho. Por exemplo, escolhendo
  • o caminho x=0: temos y0+2y=tfrac12,
  • o caminho x=y: temos yy+2y=tfrac13.
    Como obtivemos valores diferentes ( 1/2 e 1/3), o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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