Determine se a série dada converge ou diverge:
sumn=1^+infty 2+sen 3 nn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty2+sin(3n)n
converge ou diverge. Isso se insere no conteúdo de séries numéricas, em que vamos precisar usar decomposição em duas séries mais simples e aplicar o critério de divergência (ou comparação) e o critério de Dirichlet.

Passo 2

Separemos a soma em duas séries conhecidas:
sumn=1^infty2+sin(3n)n =sumn=1^infty2n ;+;sumn=1^inftysin(3n)n

Passo 3

Analisemos sumn=1^infty2n. Como 2n=2cdot1n e sabemos que
sumn=1^infty1n
é a série harmônica, que diverge, então multiplicada por 2 ela também diverge. Logo
sumn=1^infty2n é diver>=nte é

Passo 4

Agora consideremos
sumn=1^inftysin(3n)n
Aqui aplicamos o critério de Dirichlet: basta ter an=tfrac1n monotonicamente decrescente com lim an=0 e as somas parciais
BN=sumn=1^Nsin(3n)
serem acotadas. De fato, para qualquer thetaneq kpi sabe-se que sumn=1^Nsin(ntheta) permanece limitada (pode ser escrito em função de soma de progressão geométrica complexa). Logo, sum sin(3n)n converge condicionalmente por Dirichlet.

Passo 5

Temos então uma soma de duas séries, uma divergente ( sum2/n) e outra convergente ( sumsin(3n)/n). A soma de uma série divergente com uma convergente é divergente.

Resposta

A série diverge.

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