Determine se a série dada converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Isso se insere no conteúdo de séries numéricas, em que vamos precisar usar decomposição em duas séries mais simples e aplicar o critério de divergência (ou comparação) e o critério de Dirichlet.
Passo 2
Separemos a soma em duas séries conhecidas:
Passo 3
Analisemos
. Como
e sabemos que
é a série harmônica, que diverge, então multiplicada por
ela também diverge. Logo
Passo 4
Agora consideremos
Aqui aplicamos o critério de Dirichlet: basta ter
monotonicamente decrescente com
e as somas parciais
serem acotadas. De fato, para qualquer
sabe-se que
permanece limitada (pode ser escrito em função de soma de progressão geométrica complexa). Logo,
converge condicionalmente por Dirichlet.
Passo 5
Temos então uma soma de duas séries, uma divergente (
) e outra convergente (
). A soma de uma série divergente com uma convergente é divergente.
Resposta
A série diverge.