Use o mûˋtodo de integraûÏûÈo por partes para determinar as seguintes integrais
integral sin (t) ln (cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Definimos as funções para a integração por partes:
u = lnl(cos(t)r), dv = sin(t),dt

Passo 3

Agora calculamos du e v.
Como
du = ddtl[ln(cos(t))r],dt = -tan(t),dt,
e
v = integral sin(t),dt = -cos(t)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt = u,v - integral v,du = -cos(t),lnl(cos(t)r) - integral l(-cos(t)r)l(-tan(t)r),dt

Passo 5

No integral que resta aparece
-cos(t),cdot(-tan(t)) = cos(t),tan(t) = sin(t),
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integral l(-cos(t)r)l(-tan(t)r),dt = integral sin(t),dt = -cos(t)

Passo 6

Substituindo de volta, fica
integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt = -cos(t),lnl(cos(t)r) - l(-cos(t)r) + C = -cos(t),lnl(cos(t)r) + cos(t) + C

Resposta

-cos(t),lnl(cos(t)r) + cos(t) + C

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