Use o mûˋtodo de integraûÏûÈo por partes para determinar as seguintes integrais
integral e^3 z cos (5 z) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^3zcos(5z),dz
usando o método de integração por partes. Lembre-se que, para duas funções u e v, vale
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Definimos
I = integral e^3zcos(5z),dz
e escolhemos em uma primeira aplicação de partes
u = e^3z, dv = cos(5z),dz
Então
du = 3e^3z,dz, v = integral cos(5z),dz = 15sin(5z)
Aplicando a fórmula,
I = e^3zcdot15sin(5z) - integral 15sin(5z),3e^3z,dz = e^3zsin(5z)5 - 35underbraceintegral e^3zsin(5z),dzJ

Passo 3

Agora defina
J = integral e^3zsin(5z),dz
e aplique partes outra vez, com
u = e^3z, dv = sin(5z),dz
Temos
du = 3e^3z,dz, v = integral sin(5z),dz = -15cos(5z)
Assim,
J = e^3zl(-15cos(5z)r) - integral l(-15cos(5z)r),3e^3z,dz = -e^3zcos(5z)5 + 35I

Passo 4

Volte à expressão de I:
I = e^3zsin(5z)5 - 35J = e^3zsin(5z)5 - 35l(-e^3zcos(5z)5 + 35Ir)
Isso dá
I = e^3zsin(5z)5 + 3e^3zcos(5z)25 - 925I
Reorganizando para isolar I:
I + 925I = e^3zsin(5z)5 + 3e^3zcos(5z)25 Longrightarrow 3425I = 5e^3zsin(5z) + 3e^3zcos(5z)25
Logo
I = 2534cdot5e^3zsin(5z) + 3e^3zcos(5z)25 = 5e^3zsin(5z) + 3e^3zcos(5z)34 + C

Resposta

boxed integral e^3zcos(5z),dz = e^3zl(3cos(5z) +5sin(5z)r)34 + C

Exercícios relacionados