Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
(g) sumn=1^infty 1(ln n)^r, r>0;

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty1(ln n)^r, r>0
Note que ln1=0 gera problema numérico, mas isso não afeta a convergência da série (basta começar em n=2 e desprezar um número finito de termos). O conteúdo é o Teste de Comparação por Limites, que diz: se escolhermos uma série comparativa sum bn tal que
  1. limntoinftyanbn=Lin(0,infty), então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento;
  2. se limntoinftyanbn=+infty e sum bn diverge, então sum an também diverge.

Passo 2

Escolhemos a série harmônica
sumn=2^infty1n,
cuja divergência é clássica. Definimos
an=1(ln n)^r, bn=1n,
e calculamos o limite da razão:
limntoinftyanbn = limntoinftytfrac1(ln n)^rtfrac1n = limntoinftyn(ln n)^r
Como ln n cresce mais devagar que qualquer potência de n, temos
limntoinftyn(ln n)^r=+infty

Passo 3

Do resultado anterior, para n grande vale
anbn=n(ln n)^r>1 Longrightarrow an>1n=bn
Como a série harmônica sum bn diverge e an>= bn para n suficientemente grande, concluímos que
sum an=sum tfrac1(ln n)^r também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1(ln n)^r diverge para todo r>0.

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