Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1raizn^2+4 n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty1raizn^2+4n
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de comparação de séries, em particular comparação assintótica com a série harmônica sum1/n.

Passo 2

Para usar o teste da comparação de limite, comparamos o termo geral
1raizn^2+4n
com o termo 1n. Calculamos
limntoinfty 1raizn^2+4n1n =limntoinftynraizn^2+4n =limntoinfty1raiz1+4/n =1
Como esse limite é finito e não nulo, a série original e a harmônica sum1/n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Sabendo que
sumn=1^infty1/n
é divergente (série harmônica), concluímos pela comparação de limite que
sumn=1^infty1raizn^2+4n
também é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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