Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n !(n+2) !

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série
sumn=1^infty n!(n+2)!
O conteúdo aqui é séries numéricas e o que vamos usar é uma simplificação do termo geral, seguida de soma telescópica.

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando a definição de fatorial:
n!(n+2)! = n!(n+2)(n+1)n! = 1(n+1)(n+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de tfrac1(n+1)(n+2):
1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Para achar A e B, igualamos
1 = A(n+2) + B(n+1)
Tomando n=-1 1=A, e tomando n=-2 1=-B, logo A=1 e B=-1. Assim
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 4

Agora somamos os N primeiros termos e vemos o telescópio:
SN = sumn=1^Nl(1n+1-1n+2r) = l(12-13r) + l(13-14r) + cdots + l(1N+1-1N+2r)
Quase tudo cancela, sobrando
SN = 12 - 1N+2
Quando Ntoinfty, o termo tfrac1N+2to0, então
limNtoinftySN = 12

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac12.

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