Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries numéricas e o que vamos usar é uma simplificação do termo geral, seguida de soma telescópica.
Passo 2
Simplificamos o termo geral usando a definição de fatorial:
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais de
:
Para achar
e
, igualamos
Tomando
dá
, e tomando
dá
, logo
e
. Assim
Passo 4
Agora somamos os
primeiros termos e vemos o telescópio:
Quase tudo cancela, sobrando
Quando
, o termo
, então
Resposta
A série converge e seu valor é
.