Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n !(2 n) !

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyn!(2n)!
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão, que costuma ser muito eficiente quando aparecem fatorial.

Passo 2

Lembrando o Teste da Razão: para uma série de termos positivos sum an, definimos
L = limntoinftyan+1an
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an = dfracn!(2n)!. Vamos calcular
an+1an = (n+1)!(2n+2)!n!(2n)! = (n+1)!,(2n)!(2n+2)!,n! = n+1(2n+2)(2n+1) = 12(2n+1)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty12(2n+1) = 0
Como L=0<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyn!(2n)! é convergente.

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