Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1ln (n+1)

Passo 1

Resumindo, a série em estudo é
sumn=1^infty1ln(n+1),
que é de termos positivos. Para decidir convergência, vamos usar o teste de comparação com uma p-série conhecida.

Passo 2

Note que, para n grande, o logaritmo cresce mais devagar que a raiz quadrada. De fato,
limntoinftyln(n+1)raizn=0,
logo existe N tal que, para todo n>= N,
ln(n+1)<= raizn
Por exemplo, basta tomar N=3.

Passo 3

Para n>=3, da desigualdade anterior vem
1ln(n+1);>=;1raizn
Mas a série
sumn=3^infty1raizn
é uma p-série com p=tfrac12<1, portanto ela diverge.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como a “cauda”
sumn=3^infty 1/ln(n+1) domina uma série divergente, concluímos que
sumn=1^infty 1/ln(n+1) também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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