Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dado por x+y-1+z^2=0, z>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar graficamente o domínio da função z = f(x, y) que é definida pela equação x + y - 1 + z^2 = 0 com a condição de que z > 0 . O que isso significa? Queremos descobrir para quais valores de x e y a função z existe e é positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra e como manipular equações com várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para isolar z^2 . A equação é:
x + y - 1 + z^2 = 0
Subtraindo x + y - 1 de ambos os lados, temos:
z^2 = - (x + y - 1)

Passo 3

Agora, para que z seja um número real, o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero, já que o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto:
- (x + y - 1) >= 0
Simplificando isso:
x + y - 1 <= 0
x + y <= 1

Passo 4

Então, a condição x + y <= 1 define o domínio da função z = f(x, y) . Isso significa que para todos os pares (x, y) que satisfazem essa desigualdade, existe um valor correspondente de z que é positivo.

Passo 5

Vamos agora visualizar isso no plano xy . A desigualdade x + y <= 1 representa uma região que está abaixo ou na linha reta x + y = 1 . Essa linha é uma reta que intercepta os eixos x e y nos pontos (1, 0) e (0, 1) respectivamente.

Passo 6

Portanto, o domínio da função z = f(x, y) é o conjunto de todos os pontos (x, y) que estão na região abaixo ou sobre a linha x + y = 1 no plano xy .

Resposta

O domínio da função z = f(x, y) é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem x + y <= 1 . Graficamente, essa região é a área abaixo ou na linha reta x + y = 1 no plano xy .

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