Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty |sen n|n^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+infty |sen n|n^2
é convergente ou divergente.
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação com a série de termo geral 1/n^2, que sabemos ser convergente (série p com p=2>1).

Passo 2

Observamos que para todo inteiro n vale
0 <= |sen n| <= 1
Dividindo essa desigualdade por n^2>0, obtemos
0 <= |sen n|n^2 <= 1n^2

Passo 3

Sabemos que a série
sumn=1^+infty 1n^2
é convergente (é uma série p com p=2>1). Pelo teste da comparação direta, uma vez que
0 <= |sen n|n^2 <= 1n^2
e a maior comparadora converge, segue que
sumn=1^+infty |sen n|n^2
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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