Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (n+1)^2(n+2) !

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(n+1)^2(n+2)!
O conteúdo envolvido é teste de séries numéricas, em particular comparação com séries cuja convergência é conhecida (aqui, a série de factorial).

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar um 1/n!:
(n+1)^2(n+2)! = (n+1)^2(n+2)(n+1),n! = n+1n+2,1n!
Como para todo n>=1 vale
0<n+1n+2<1,
seguimos que
0<(n+1)^2(n+2)!<=1n!

Passo 3

Sabemos que
sumn=1^infty1n!
é convergente (na verdade soma e-1). Pelo teste da comparação com termos não negativos, a série original também converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(n+1)^2(n+2)! é convergente.

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