Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty (n-1)!(n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^+infty (n-1)!(n+1)!
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar simplificação de fatoriais e telescoping (frações parciais).

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando
(n+1)!=(n+1),n,(n-1)!,
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(n-1)!(n+1)!=1n(n+1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1n(n+1)=An+Bn+1
Resolvendo 1=A(n+1)+Bn para todo n A=1 e B=-1. Então
1n(n+1)=1n-1n+1

Passo 4

Escrevemos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+1r)
Isso é telescópico, pois ao expandir vemos cancelamentos:
SN=l(1-tfrac12r)+l(tfrac12-tfrac13r)+cdots+l(tfrac1N-tfrac1N+1r)=1-1N+1

Passo 5

Tomando Ntoinfty, temos
limNtoinfty SN = 1 - limNtoinfty 1N+1 = 1
Portanto a série converge.

Resposta

A série é convergente (e sua soma é igual a 1).

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