Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com séries numéricas, especificamente verificando se a soma infinita desses termos tem um limite finito (convergente) ou não (divergente). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando
fica muito grande. Observando
, para valores grandes de
, o termo
domina, então podemos aproximar a fração por:
Isso significa que, para grandes valores de
, nossos termos se comportam como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é divergente. Como nossa série original se aproxima da série harmônica para grandes
, vamos usar o Teste de Comparação para comparar as duas séries.
Passo 4
No Teste de Comparação, comparamos os termos positivos das duas séries. Se
para algum
e suficientes valores de
, e sabemos que
diverge, então nossa série também diverge.
Vamos ver:
Isso mostra que nossos termos são menores que
, mas isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos usar o Teste de Comparação pelo Límite.
Passo 5
No Teste de Comparação pelo Límite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Como o limite é uma constante diferente de zero, e a série harmônica
diverge, então nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.