Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n5 n^2+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série infinita sumn=1^+infty n5 n^2+3 é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com séries numéricas, especificamente verificando se a soma infinita desses termos tem um limite finito (convergente) ou não (divergente). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando n fica muito grande. Observando n5n^2 + 3, para valores grandes de n, o termo 5n^2 domina, então podemos aproximar a fração por:
n5n^2 + 3 approx n5n^2 = 15n
Isso significa que, para grandes valores de n, nossos termos se comportam como 1n.

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n é a famosa série harmônica, que é divergente. Como nossa série original se aproxima da série harmônica para grandes n, vamos usar o Teste de Comparação para comparar as duas séries.

Passo 4

No Teste de Comparação, comparamos os termos positivos das duas séries. Se n5n^2 + 3 >= k cdot 1n para algum k > 0 e suficientes valores de n, e sabemos que sum 1n diverge, então nossa série também diverge.
Vamos ver:
n5n^2 + 3 = 15n + 3n < 15n
Isso mostra que nossos termos são menores que 15n, mas isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos usar o Teste de Comparação pelo Límite.

Passo 5

No Teste de Comparação pelo Límite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty n5n^2 + 31n = limn to infty n^25n^2 + 3 = 15
Como o limite é uma constante diferente de zero, e a série harmônica sum 1n diverge, então nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty n5 n^2+3 é divergente.

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