Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n!2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty n!2^n+1 converge ou diverge. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se uma série infinita converge ou diverge analisando o limite das razões entre termos consecutivos. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , ela diverge; e se L = 1 , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, vamos identificar an :
an = n!2^n+1
Agora, vamos encontrar an+1 :
an+1 = (n+1)!2^(n+1)+1 = (n+1)!2^n+2

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an :
an+1an = (n+1)!2^n+2n!2^n+1 = (n+1)!2^n+2 times 2^n+1n! = (n+1) cdot n!2^n+2 times 2^n+1n! = n+12

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão conforme n tende ao infinito:
L = limn to infty n+12 = limn to infty n2 + 12 = infty

Passo 6

Como L = infty é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!2^n+1 diverge.

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