(2,0 pontos) Dada a função vetorial r(t)=(4 cos (t), 4 sen(t), 3 t) determine:
(a) r^prime(t)
(b) T(t)
(c) N(t)
(d) B(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções vetoriais! A gente tem a função vetorial r(t) = (4 cos(t), 4 sin(t), 3t) e precisa encontrar quatro coisas: a derivada r^prime(t), o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e o vetor binormal unitário B(t). Para isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais, calcular magnitudes de vetores e entender um pouco sobre vetores unitários e como eles se relacionam em movimentos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t), que é r^prime(t). A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a t.
r(t) = (4 cos(t), 4 sin(t), 3t)
Derivando cada componente:
r^prime(t) = (ddt[4 cos(t)], ddt[4 sin(t)], ddt[3t]) = (-4 sin(t), 4 cos(t), 3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário T(t). Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto e é obtido normalizando a derivada da função vetorial.
Primeiro, calculamos a magnitude de r^prime(t):
|r^prime(t)| = raiz(-4 sin(t))^2 + (4 cos(t))^2 + 3^2 = raiz16 sin^2(t) + 16 cos^2(t) + 9 = raiz16(sin^2(t) + cos^2(t)) + 9 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Agora, o vetor tangente unitário é:
T(t) = r^prime(t)|r^prime(t)| = (-4 sin(t), 4 cos(t), 3)5 = (-45 sin(t), 45 cos(t), 35)

Passo 4

Seguinte, vamos determinar o vetor normal unitário N(t). Esse vetor aponta na direção da mudança do vetor tangente e é obtido normalizando a derivada de T(t).
Primeiro, derivamos T(t):
T(t) = (-45 sin(t), 45 cos(t), 35)
Derivando cada componente:
T^prime(t) = (-45 cos(t), -45 sin(t), 0)
Agora, calculamos a magnitude de T^prime(t):
|T^prime(t)| = raiz(-45 cos(t))^2 + (-45 sin(t))^2 + 0^2 = raiz1625 cos^2(t) + 1625 sin^2(t) = raiz1625 (cos^2(t) + sin^2(t)) = raiz1625 = 45
Então, o vetor normal unitário é:
N(t) = T^prime(t)|T^prime(t)| = (-45 cos(t), -45 sin(t), 0)45 = (-cos(t), -sin(t), 0)

Passo 5

Por último, vamos encontrar o vetor binormal unitário B(t). Esse vetor é perpendicular tanto a T(t) quanto a N(t) e é obtido através do produto vetorial de T(t) e N(t).
Calculando o produto vetorial:
B(t) = T(t) times N(t)
Usando os componentes:
T(t) = (-45 sin(t), 45 cos(t), 35)
N(t) = (-cos(t), -sin(t), 0)
Aplicando o produto vetorial:
B(t) = i & j & k -45 sin(t) & 45 cos(t) & 35 -cos(t) & -sin(t) & 0
Calculando cada componente:
Bx = (45 cos(t) cdot 0 - 35 cdot (-sin(t))) = 35 sin(t)
By = -(-45 sin(t) cdot 0 - 35 cdot (-cos(t))) = -(35 cos(t)) = -35 cos(t)
Bz = (-45 sin(t) cdot (-sin(t)) - 45 cos(t) cdot (-cos(t))) = 45 sin^2(t) + 45 cos^2(t) = 45 (sin^2(t) + cos^2(t)) = 45
Então, o vetor binormal unitário é:
B(t) = (35 sin(t), -35 cos(t), 45)

Resposta

(a) r^prime(t) = (-4 sin(t), 4 cos(t), 3)
(b) T(t) = (-45 sin(t), 45 cos(t), 35)
(c) N(t) = (-cos(t), -sin(t), 0)
(d) B(t) = (35 sin(t), -35 cos(t), 45)

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