Beleza, vamos resolver esse exercício de funções vetoriais! A gente tem a função vetorial e precisa encontrar quatro coisas: a derivada , o vetor tangente unitário , o vetor normal unitário e o vetor binormal unitário . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais, calcular magnitudes de vetores e entender um pouco sobre vetores unitários e como eles se relacionam em movimentos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que é . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a .
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto e é obtido normalizando a derivada da função vetorial.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Agora, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Seguinte, vamos determinar o vetor normal unitário . Esse vetor aponta na direção da mudança do vetor tangente e é obtido normalizando a derivada de .
Primeiro, derivamos :
Derivando cada componente:
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Por último, vamos encontrar o vetor binormal unitário . Esse vetor é perpendicular tanto a quanto a e é obtido através do produto vetorial de e .