Diga de convergem as sequências:
n\left[e^{\operatorname{sen}(1 / n)}-1\right]
n\left[e^{\operatorname{sen}(1 / n)}-1\right]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a sequência
converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e usar algumas propriedades das funções exponencial e seno. Vamos passo a passo descobrir o que acontece quando
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro da sequência:
. Sabemos que quando
cresce,
fica cada vez menor, se aproximando de 0. Então, vamos entender o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Lembrando que o seno de um número muito pequeno, próximo de 0, pode ser aproximado pelo próprio número. Ou seja, quando
é próximo de 0,
. Portanto, para
, temos:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Agora, vamos lembrar da expansão em série da função exponencial para valores próximos de 0:
Aplicando isso para
:
Então:
Passo 5
Voltando à sequência original:
Distribuindo o
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Resposta
A sequência
converge para 1 quando
tende ao infinito.