Diga de convergem as sequências:
n\left[e^{\operatorname{sen}(1 / n)}-1\right]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a sequência n[e^sin(1n) - 1] converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e usar algumas propriedades das funções exponencial e seno. Vamos passo a passo descobrir o que acontece quando n cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro da sequência: e^sin(1n) - 1 . Sabemos que quando n cresce, 1n fica cada vez menor, se aproximando de 0. Então, vamos entender o comportamento de sin(1n) quando n tende ao infinito.

Passo 3

Lembrando que o seno de um número muito pequeno, próximo de 0, pode ser aproximado pelo próprio número. Ou seja, quando x é próximo de 0, sin(x) approx x . Portanto, para x = 1n , temos:
sin(1n) approx 1n

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
e^sin(1n) - 1 approx e^1n - 1
Agora, vamos lembrar da expansão em série da função exponencial para valores próximos de 0:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots
Aplicando isso para x = 1n :
e^1n approx 1 + 1n + 12n^2
Então:
e^1n - 1 approx 1n + 12n^2

Passo 5

Voltando à sequência original:
n[e^sin(1n) - 1] approx n(1n + 12n^2)
Distribuindo o n :
n cdot 1n + n cdot 12n^2 = 1 + 12n

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 12n) = 1 + 0 = 1

Resposta

A sequência n[e^sin(1n) - 1] converge para 1 quando n tende ao infinito.

Exercícios relacionados