Estude a convergência de cada uma das séries abaixo. No caso de convergência, calcule o valor da soma.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 74^n
e, caso ela converja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries geométricas.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral em forma geométrica, temos
74^n ;=; 7l(tfrac14r)^n
Logo, a série pode ser vista como
sumn=1^infty 7l(tfrac14r)^n

Passo 3

Para a série geométrica
sumn=1^infty ar^,n,
sabemos que ela converge se e somente se lvert rrvert<1. Aqui a=7 e r=tfrac14, e como lverttfrac14rvert<1, a série converge.

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
sumn=1^infty ar^,n =ar1-r
Substituindo a=7 e r=tfrac14, obtemos
sumn=1^infty 74^n =7cdot141-14 =7434 =73

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 74^n = 73

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