Estude a convergência de cada uma das séries abaixo. No caso de convergência, calcule o valor da soma.
sumn=0^infty (-1)^n4^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty (-1)^n4^n
Este é um caso de série geométrica com termo geral da forma ar^n. Vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e, em caso positivo, calcular a soma.

Passo 2

Identificamos os parâmetros da série geométrica:
a = (-1)^04^0 = 1, r = (-1)^1/4^1(-1)^0/4^0 = -tfrac14

Passo 3

O critério de convergência da série geométrica diz que ela converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = lvert -tfrac14rvert = tfrac14 < 1,
portanto a série converge absolutamente.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma é
S = a1 - r
Substituindo a=1 e r=-tfrac14, obtemos
S = 11 - l(-tfrac14r) = 11 + tfrac14 = 1tfrac54 = 45

Resposta

A série converge (absolute convergência) e sua soma é tfrac45.

Exercícios relacionados