1. ESCOLHA APENAS UMA:

(a) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto ( 1,0,2 ) é de 120. Determine a taxa de variação de T em (1,0,2) em direção ao ponto (2,1,1).
(b) Em qual ponto do paraboloide y=x^{2}+z^{2} o plano tangente é paralelo ao plano x+2 y+3 z=1 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
  • A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro (origem).\n
  • A temperatura no ponto (1,0,2) é 120.\n
  • Precisamos determinar a taxa de variação de T em (1,0,2) na direção do ponto (2,1,1).\n
    Dados úteis a listar:\n
  • Ponto onde calculamos: P=(1,0,2).\n
  • Ponto que define a direção: Q=(2,1,1).\n
  • Vetor direção (não normalizado): \; \overrightarrow{PQ}=Q-P=(1,1,-1).

Passo 2

Modelar matematicamente a dependência “inversamente proporcional à distância”:\n
Seja r a distância ao centro, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. “Inversamente proporcional” significa que existe uma constante k tal que
T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Agora usamos a informação dada em P=(1,0,2) para achar k. Primeiro calcule r em P:
r(P)=\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
Como T(P)=120, temos
120=\frac{k}{\sqrt{5}}\quad\Rightarrow\quad k=120\sqrt{5}.

Passo 3

Explicar o que precisamos calcular: a taxa de variação de T na direção de Q.\n
  • Em cálculo multivariável, a taxa de variação de uma função T(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o derivada direcional, dada por
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u}.
  • \nabla T é o gradiente: o vetor das derivadas parciais; ele aponta na direção de máximo crescimento e seu produto escalar com \mathbf{u} dá a taxa de variação nessa direção.\n
    Então precisamos: (i) encontrar \nabla T(x,y,z), (ii) avaliar em P, (iii) obter o vetor unitário na direção de \overrightarrow{PQ} e (iv) fazer o produto escalar.

Passo 4

Calcular o gradiente \nabla T(x,y,z).\n
Partimos de
T(x,y,z)=k\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Derivando em relação a x (e análogo para y,z) usando a regra da cadeia:
\frac{\partial T}{\partial x}=k\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -k\,x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.
Assim o gradiente é
\nabla T(x,y,z) = -k\,(x,y,z)\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Avaliar \nabla T em P=(1,0,2) usando k=120\sqrt{5} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.\n
Substituindo,
\nabla T(P) = -120\sqrt{5}\,(1,0,2)\, 5^{-3/2}.
Note que 5^{3/2}=5\sqrt{5}. Portanto o fator comum é
-120\sqrt{5}\cdot 5^{-3/2} = -120\sqrt{5}\cdot\frac{1}{5\sqrt{5}} = -\frac{120}{5} = -24.
Logo
\nabla T(P)= -24\,(1,0,2)=(-24,\,0,\,-48).

Passo 6

Calcular o vetor unitário na direção de \overrightarrow{PQ}=(1,1,-1).\n
O comprimento de \overrightarrow{PQ} é
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1).

Passo 7

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u}=(-24,0,-48)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1).
Fazendo o produto escalar no numerador:
(-24)\cdot 1 + 0\cdot 1 + (-48)\cdot(-1) = -24 + 48 = 24.
Dividindo por \sqrt{3} obtém-se
D_{\mathbf{u}}T(P)=\frac{24}{\sqrt{3}}.
Simplificando racionalizando (opcional):
\frac{24}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}.
Interpretação rápida: o sinal positivo significa que, movendo-se a partir de P na direção de Q, a temperatura aumenta, e a taxa de aumento é 8\sqrt{3} unidades de temperatura por unidade de comprimento.

Resposta

8\sqrt{3}

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