(a) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto ( 1,0,2 ) é de 120. Determine a taxa de variação de T em (1,0,2) em direção ao ponto (2,1,1).
(b) Em qual ponto do paraboloide y=x^{2}+z^{2} o plano tangente é paralelo ao plano x+2 y+3 z=1 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:\n
A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro (origem).\n
A temperatura no ponto (1,0,2) é 120.\n
Precisamos determinar a taxa de variação de T em (1,0,2) na direção do ponto (2,1,1).\n
Dados úteis a listar:\n
Modelar matematicamente a dependência “inversamente proporcional à distância”:\n
Seja r a distância ao centro, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. “Inversamente proporcional” significa que existe uma constante k tal que
T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Agora usamos a informação dada em P=(1,0,2) para achar k. Primeiro calcule r em P:
Explicar o que precisamos calcular: a taxa de variação de T na direção de Q.\n
Em cálculo multivariável, a taxa de variação de uma função T(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o derivada direcional, dada por
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u}.
\nabla T é o gradiente: o vetor das derivadas parciais; ele aponta na direção de máximo crescimento e seu produto escalar com \mathbf{u} dá a taxa de variação nessa direção.\n
Então precisamos: (i) encontrar \nabla T(x,y,z), (ii) avaliar em P, (iii) obter o vetor unitário na direção de \overrightarrow{PQ} e (iv) fazer o produto escalar.
Passo 4
Calcular o gradiente \nabla T(x,y,z).\n
Partimos de
T(x,y,z)=k\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Derivando em relação a x (e análogo para y,z) usando a regra da cadeia:
Interpretação rápida: o sinal positivo significa que, movendo-se a partir de P na direção de Q, a temperatura aumenta, e a taxa de aumento é 8\sqrt{3} unidades de temperatura por unidade de comprimento.