Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 32 n-raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 32,n - raizn
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é de testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o Teste da Comparação Limite (ou Limit Comparison Test) com a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Definimos a sequência comparadora
bn = 1n,
cuja série sum bn é a famosa série harmônica, que diverge.

Passo 3

Calculamos o limite
L = limn to inftyanbn = limn to infty32n - raizn1n = limn to infty3,n2n - raizn
Para n grande, raizn cresce mais devagar que n, então
L = limn to infty3,n2nl(1 - tfrac12raiznr) = 32

Passo 4

Como 0 < L < infty, o Teste da Comparação Limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Sabendo que sum bn = sum 1/n diverge, concluímos que

Resposta

A série sumn=1^infty 32n - raizn diverge.

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