Questão 2
Valor: 0,80
É correto afirmar, sobre a matriz A=[ccccc1 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & -3 & 12 & 0 & 0 -12 & 12 & 3 & -1 & 0 1 & 12 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 12 & -12 & -12] :
A) O determinante de A é det A=-144.
B) O determinante de A é det A=-1728.
C) O determinante de A é det A=1728.
D) O determinante de A é det A=0.
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Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & -3 & 12 & 0 & 0 -12 & 12 & 3 & -1 & 0 1 & 12 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 12 & -12 & -12
e pede o valor de det A. Vamos usar expansão de Laplace em linhas ou colunas que tenham muitos zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Como a primeira linha de A é (1,0,0,0,0), expandimos por ela. Só o elemento a11=1 contribui, com sinal +. Logo
det A = 1 cdot det N,
onde N é a submatriz 4×4 obtida ao apagar a linha 1 e a coluna 1 de A:
N = -3 & 12 & 0 & 0 12 & 3 & -1 & 0 12 & 0 & 0 & 0 3 & 12 & -12 & -12

Passo 3

Na matriz N, a coluna 4 tem só um elemento não nulo ( n44=-12). Expandindo por essa coluna, temos
det N = (-1)^4+4,(-12),det P = -12;det P,
onde P é a 3×3 formada pelas três primeiras linhas e colunas de N:
P = -3 & 12 & 0 12 & 3 & -1 12 & 0 & 0

Passo 4

Para calcular det P, expandimos pela coluna 3 (só o elemento p23=-1 é não nulo):
det P = (-1)^2+3,(-1), det!-3 & 12 [6pt] 12 & 0 = (+1)l((-3)cdot0 - 12cdot12r) = -144 ]

Passo 5

Voltando,
det N = -12 times (-144) = 1728 e portanto det A = 1cdot det N = 1728

Resposta

C) det A = 1728.

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