Encontrar a integral que dá o comprimento de arco total da curva dada.
r=3 sen(3 theta)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco total da curva em coordenadas polares dada por
r(theta)=3sen(3theta)
O conteúdo usado é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
L=integralthetaa^thetabraizl(r(theta)r)^2+l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r:
drdtheta=3cdot3cos(3theta)=9cos(3theta)
Substituindo na expressão sob a raiz:
l(r(theta)r)^2+l(drdthetar)^2 =9sen^2(3theta)+81cos^2(3theta) =9l(sen^2(3theta)+9cos^2(3theta)r)
Logo o integrando fica
raiz9l(sen^2(3theta)+9cos^2(3theta)r) =3raizsen^2(3theta)+9cos^2(3theta)

Passo 3

Para traçar uma pétala de r=3sen(3theta) mantemos r>=0, ou seja sen(3theta)>=0, que ocorre em
0<=3theta<=piLongrightarrow 0<=theta<=pi3
A curva tem 3 pétalas idênticas no intervalo [0,2pi], logo o comprimento total é três vezes o de uma pétala.

Resposta

Ltotal =3integral0^pi/33raizsen^2(3theta)+9cos^2(3theta);dtheta

Exercícios relacionados