(6.0) - Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(ln (n))^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1l(ln(n)r)^n
é convergente ou divergente. Perceba que em n=1 temos ln(1)=0, o que torna o primeiro termo indefinido. No entanto, isso não afeta o comportamento da série no infinito: podemos começar a análise em n=2. Como os termos são positivos, podemos usar um dos testes de convergência para séries de termos positivos, por exemplo o teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz afirma que, para an>=0, se
L = limsupntoinftyraiz[n]an,
então
  • se L<1, a série sum an converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui temos
an = 1l(ln(n)r)^n

Passo 3

Calculemos a n-ésima raiz de an:
raiz[n]an = raiz[n]1l(ln(n)r)^n = 1ln(n)
Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty1ln(n) = 0
Como 0<1, o teste da raiz garante que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1l(ln(n)r)^n é convergente.

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