Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty(-1)^n+1 12 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 12n converge ou diverge. Essa é uma questão de séries numéricas, e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada pra resolver.

Passo 2

Primeiro, nota que a série é alternada porque os termos mudam de sinal conforme n aumenta, por causa do (-1)^n+1. Séries alternadas são aquelas em que os termos positivos e negativos se alternam.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral sem o sinal alternado: an = 12n. Agora, precisamos verificar duas coisas:
  1. O limite de an quando n tende ao infinito.
  2. Se a sequência an é decrescente.

Passo 4

Calculando o limite:
limn to infty an = limn to infty 12n = 0
Então, o primeiro requisito está satisfeito porque o limite é zero.

Passo 5

Agora, vamos ver se a sequência an = 12n é decrescente. Observando que, conforme n aumenta, o valor de an diminui, ou seja, an+1 = 12(n+1) < 12n = an. Portanto, a sequência é decrescente.

Passo 6

Como os dois requisitos do Teste da Série Alternada foram atendidos (limite zero e termos decrescentes), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 12n é convergente.

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