Determine se a série dada é convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Essa é uma questão de séries numéricas, e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada pra resolver.
Passo 2
Primeiro, nota que a série é alternada porque os termos mudam de sinal conforme n aumenta, por causa do
. Séries alternadas são aquelas em que os termos positivos e negativos se alternam.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral sem o sinal alternado:
. Agora, precisamos verificar duas coisas:
- O limite de
quando n tende ao infinito. - Se a sequência
é decrescente.
Passo 4
Calculando o limite:
Então, o primeiro requisito está satisfeito porque o limite é zero.
Passo 5
Agora, vamos ver se a sequência
é decrescente. Observando que, conforme n aumenta, o valor de
diminui, ou seja,
. Portanto, a sequência é decrescente.
Passo 6
Como os dois requisitos do Teste da Série Alternada foram atendidos (limite zero e termos decrescentes), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
é convergente.