Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
b) f(x)=c4,-2<x<0 4-x^2, 0<x<2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f no intervalo -2<x<2 com extensão periódica de período 4. O conteúdo é Séries de Fourier em intervalo simétrico [-L,L] com L=2. Vamos usar as fórmulas
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi x2r)+bnsinl(tfracnpi x2r)r),
a0=12integral-2^2f(x),dx, an=12integral-2^2f(x)cosl(tfracnpi x2r)dx, bn=12integral-2^2f(x)sinl(tfracnpi x2r)dx

Passo 2

Calcular a0:
a0=12l(integral-2^04,dx+integral0^2(4-x^2),dxr) =12l(4cdot2+l[4x-tfracx^33r]0^2r) =12l(8+(8-tfrac83)r) =203

Passo 3

Calcular an. Note que integral-2^0 4cos(kx)dx=0 com k=tfracnpi2. Para integral0^2(4-x^2)cos(kx)dx usamos integrações por partes e obtemos
integral0^2(4-x^2)cos(kx)dx =-4cos(2k)k^2+2sin(2k)k^3
Como cos(2k)=cos(npi)=(-1)^n e sin(2k)=0, segue
an=12l(-4(-1)^nk^2r) =-2(-1)^nk^2 =-8(-1)^nn^2pi^2

Passo 4

Calcular bn. Fazendo conta de
integral-2^0 4sin(kx)dx e
integral0^2(4-x^2)sin(kx)dx por partes, chega-se a
bn =4(-1)^nnpi+8l(1-(-1)^nr)n^3pi^3

Passo 5

Reunindo, a série de Fourier fica
f(x) =a02+sumn=1^inftyl(ancosl(tfracnpi x2r) +bnsinl(tfracnpi x2r)r),
onde
a02=103, an=-8(-1)^nn^2pi^2, bn=4(-1)^nnpi+8l(1-(-1)^nr)n^3pi^3

Resposta

f(x)=103 +sumn=1^inftyl( -8(-1)^nn^2pi^2cosl(tfracnpi x2r) +l[4(-1)^nnpi+8(1-(-1)^n)n^3pi^3r] sinl(tfracnpi x2r)r)

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