Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
para qualquer constante real
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
, e uma função proposta para ser solução dessa equação:
, onde
é uma constante qualquer. Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial. Para fazer isso, vamos precisar usar a regra de derivação e entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação diferencial
quer dizer. Ela está dizendo que a taxa de variação de
em relação a
é igual a três vezes o próprio
. Ou seja, como
muda no tempo está diretamente relacionada a
em si.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função proposta
em relação a
. Para derivar essa função, lembramos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso aqui, temos:
Passo 4
Depois de derivar, vamos comparar a derivada que encontramos com o lado direito da equação diferencial original, que é
. Substituindo
na expressão
, temos:
Percebemos que
é exatamente igual a
, ou seja,
.
Passo 5
Como a derivada de
iguala-se a
, isso confirma que a função
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Portanto, essa função é uma solução da equação.
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação diferencial
.