Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
d yd t=3 y, y(t)=C e^3 t para qualquer constante real C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial: dydt = 3y, e uma função proposta para ser solução dessa equação: y(t) = C e^3t, onde C é uma constante qualquer. Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial. Para fazer isso, vamos precisar usar a regra de derivação e entender o que significa uma função ser solução de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação diferencial dydt = 3y quer dizer. Ela está dizendo que a taxa de variação de y em relação a t é igual a três vezes o próprio y. Ou seja, como y muda no tempo está diretamente relacionada a y em si.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função proposta y(t) = C e^3t em relação a t. Para derivar essa função, lembramos que a derivada de e^kt em relação a t é k e^kt. Aplicando isso aqui, temos:
dydt = C cdot 3 e^3t = 3C e^3t

Passo 4

Depois de derivar, vamos comparar a derivada que encontramos com o lado direito da equação diferencial original, que é 3y. Substituindo y(t) na expressão 3y, temos:
3y = 3 cdot C e^3t = 3C e^3t
Percebemos que dydt é exatamente igual a 3y, ou seja, 3C e^3t.

Passo 5

Como a derivada de y(t) iguala-se a 3y(t), isso confirma que a função y(t) = C e^3t realmente satisfaz a equação diferencial dada. Portanto, essa função é uma solução da equação.

Resposta

Sim, a função y(t) = C e^3t é uma solução da equação diferencial dydt = 3y.

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