Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\ x^{2}, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\ x^2, & 0 \le x < \pi, \end{cases}
e pede a série de Fourier em [-\pi,\pi]. Vamos aplicar a definição de série de Fourier de período 2\pi, calculando os coeficientes a_0, a_n e b_n pelas integrais apropriadas.

Passo 2

A série de Fourier geral é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x)=0 em (-\pi,0), podemos trocar o limite inferior por 0 em todas as integrais.

Passo 3

Calcule a_0:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi} =\frac{\pi^3}{3}.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3}=\frac{\pi^2}{3}.

Passo 4

Calcule a_n:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes (primeiro tomando u=x^2, dv=\cos(nx)\,dx), obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}.
Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 5

Calcule b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Aplicando integração por partes duas vezes (tomando primeiro u=x^2, dv=\sin(nx)\,dx), chega-se a
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}-\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3}.
Logo
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}-\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}\Bigr) =-\frac{\pi(-1)^n}{n}-\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}
que também pode ser escrito como
b_n =\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}-\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 6

Substituindo em
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)
temos a_0/2=\pi^2/6, a_n=2(-1)^n/n^2 e b_n como acima.

Resposta

f(x) =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}-\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx) \right].

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