f(x)= \begin{cases}1 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant \pi \\\\ 0 & \text { se }-\pi \leqslant x<0\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período 2\pi\)
\[f(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x \le \pi,\\\\ 0, & -\pi \le x < 0, \end{cases}
e pede a série de Fourier padrão em ([-\pi,\pi]]. Para isso a gente vai usar as fórmulas das componentes a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Passo 2
Calcular a_{0}. Como f(x)=0 em [-\pi,0) e f(x)=1 em [0,\pi], temos