Determine a série de Fourier da função dada.
f(x)= \begin{cases}1 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant \pi \\\\ 0 & \text { se }-\pi \leqslant x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0 \le x \le \pi,\\\\ 0, & -\pi \le x < 0, \end{cases}
e pede a série de Fourier padrão em ([-\pi,\pi]]. Para isso a gente vai usar as fórmulas das componentes
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_{0}. Como f(x)=0 em [-\pi,0) e f(x)=1 em [0,\pi], temos
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\,dx =\frac{1}{\pi}\,\pi =1.
Portanto o termo constante na série é a_{0}/2=1/2.

Passo 3

Calcular a_{n} para n\ge1:
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(0)\bigr) =0.
Logo todos os coeficientes a_{n} são zero.

Passo 4

Calcular b_{n} para n\ge1:
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =-\frac{1}{\pi n}\bigl(\cos(n\pi)-\cos(0)\bigr) =\frac{1}{\pi n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Daí concluímos que
b_{n}= \begin{cases} 0, & n\text{ par},\\\ \displaystyle \frac{2}{\pi n}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 5

Montando a série de Fourier:
f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr) =\frac12 +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\,\sin(nx).
Reindexando n=2k-1, fica
f(x) =\frac12 +\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr).

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac12 +\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr). }

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