O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com termo forçante constante em cada trecho. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) achar uma particular em cada intervalo, e (3) impor continuidade de y e y' em t=2.
Passo 2
A equação homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é lambda^2 + 4=0, com raízes lambda=pm2i. Logo a solução geral homogênea é
yc(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Passo 3
Para 0<= t<2 temos g(t)=1. Buscamos uma solução particular constante yp1=K.
Substituindo em y''+4y=1 dá 4K=1, logo K=tfrac14.
A solução em [0,2) é