Seja g a função definida por
g(t)= 1, & t<2 4, & t >= 2
Resolva o PVI
y^prime prime+4 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' + 4y = g(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
g(t)= 1, & t<2, 4, & t>=2
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com termo forçante constante em cada trecho. Para resolver, vamos ( 1) achar a solução geral da homogênea, ( 2) achar uma particular em cada intervalo, e ( 3) impor continuidade de y e y' em t=2.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é lambda^2 + 4=0, com raízes lambda=pm2i. Logo a solução geral homogênea é
yc(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

Passo 3

Para 0<= t<2 temos g(t)=1. Buscamos uma solução particular constante yp1=K.
Substituindo em y''+4y=1 4K=1, logo K=tfrac14.
A solução em [0,2) é
y1(t)=Acos2t + Bsin2t + tfrac14
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0:
y1(0)=A+tfrac14=0Rightarrow A=-tfrac14,
y1'(t)=-2Asin2t +2Bcos2t, y1'(0)=2B=0Rightarrow B=0
Portanto
y1(t)=tfrac14l(1-cos2tr), 0<= t<2

Passo 4

Para t>=2 temos g(t)=4. Novamente tentamos yp2= constante K, de onde 4K=4 e K=1.
A solução em [2,infty) é
y2(t)=Ccos2t + Dsin2t +1
Impondo continuidade de y e y' em t=2:
y2(2)=y1(2), y2'(2)=y1'(2)
Calculamos
y1(2)=tfrac14l(1-cos4r), y1'(t)=tfrac12sin2t;Rightarrow;y1'(2)=tfrac12sin4
Em y2:
y2(2)=Ccos4 +Dsin4 +1,
y2'(t)=-2Csin2t +2Dcos2t;Rightarrow;y2'(2)=-2Csin4 +2Dcos4
As igualdades viram o sistema
Ccos4 + Dsin4 = tfrac14(1-cos4)-1, -2Csin4 +2Dcos4 = tfrac12sin4

Passo 5

Resolvendo por eliminação (ou Cramer), obtém-se
C=-3cos4+14, D=-3sin44

Passo 6

Reunindo tudo, a solução do PVI é
y(t)= dfrac14l(1-cos 2tr), & 0<= t<2,[1em] -dfrac3cos 4 + 14,cos 2t ; - ; dfrac3sin 44,sin 2t ; + ; 1, & t>= 2
]

Resposta

y(t)= dfrac14l(1-cos 2tr), & t<2,[6pt] -dfrac3cos 4 + 14cos 2t ; - ; dfrac3sin 44sin 2t ; + ; 1, & t>= 2
]

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