Durante uma noite um homem de 1,80 metros de altura estava parado, ao nível da rua, perto de um poste de iluminação de 4,50 metros que está aceso. Se o homem se aproximar do poste, o comprimento de sua sombra aproxima-se de algum valor? Qual valor? Exprima este fato, matematicamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um homem de 1,80 metros de altura parado perto de um poste de iluminação de 4,50 metros. A pergunta é: se ele se aproximar do poste, o comprimento da sombra dele vai se aproximar de algum valor? E qual seria esse valor? Para resolver isso, vamos usar a matemática dos triângulos semelhantes e um pouco de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. Quando o homem está perto do poste, a luz do poste cria uma sombra dele no chão. Esses dois objetos formam triângulos: um com o poste e sua sombra, e outro com o homem e a sombra dele. Como a luz vem de um ponto fixo no topo do poste, esses triângulos são semelhantes, ou seja, têm a mesma forma mas tamanhos diferentes.

Passo 3

Vamos chamar:
  • = altura do poste = 4,50 metros
  • = altura do homem = 1,80 metros
  • = distância do homem até o poste
  • = comprimento da sombra do homem
Como os triângulos são semelhantes, as proporções entre as alturas e os comprimentos correspondentes são iguais. Então, podemos montar a seguinte proporção:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e .
Multiplicando em cruz temos:
Substituindo os valores de altura:
Distribuindo o 1,8:
Isolando :
Então, a sombra do homem é da distância que ele está do poste.

Passo 5

Agora, queremos saber o que acontece com quando se aproxima de zero (ou seja, quando o homem se aproxima muito do poste).
Matematicamente, isso é representado pelo limite:
Isso significa que, quanto mais o homem se aproxima do poste ( ), mais curta fica a sombra dele, chegando a zero.

Resposta

Quando o homem se aproxima do poste, o comprimento da sua sombra se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por:

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