Durante uma noite um homem de 1,80 metros de altura estava parado, ao nível da rua, perto de um poste de iluminação de 4,50 metros que está aceso. Se o homem se aproximar do poste, o comprimento de sua sombra aproxima-se de algum valor? Qual valor? Exprima este fato, matematicamente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um homem de 1,80 metros de altura parado perto de um poste de iluminação de 4,50 metros. A pergunta é: se ele se aproximar do poste, o comprimento da sombra dele vai se aproximar de algum valor? E qual seria esse valor? Para resolver isso, vamos usar a matemática dos triângulos semelhantes e um pouco de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação. Quando o homem está perto do poste, a luz do poste cria uma sombra dele no chão. Esses dois objetos formam triângulos: um com o poste e sua sombra, e outro com o homem e a sombra dele. Como a luz vem de um ponto fixo no topo do poste, esses triângulos são semelhantes, ou seja, têm a mesma forma mas tamanhos diferentes.
Passo 3
Vamos chamar:
-
= altura do poste = 4,50 metros -
= altura do homem = 1,80 metros -
= distância do homem até o poste -
= comprimento da sombra do homem
Como os triângulos são semelhantes, as proporções entre as alturas e os comprimentos correspondentes são iguais. Então, podemos montar a seguinte proporção:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Multiplicando em cruz temos:
Substituindo os valores de altura:
Distribuindo o 1,8:
Isolando
:
Então, a sombra do homem é
da distância que ele está do poste.
Passo 5
Agora, queremos saber o que acontece com
quando
se aproxima de zero (ou seja, quando o homem se aproxima muito do poste).
Matematicamente, isso é representado pelo limite:
Isso significa que, quanto mais o homem se aproxima do poste (
), mais curta fica a sombra dele, chegando a zero.
Resposta
Quando o homem se aproxima do poste, o comprimento da sua sombra se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por: