Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Isto é um problema de determinação de convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
u_{n} = \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}/(2n+2)!}{(-1)^{n}x^{2n}/(2n)!}\right| = \left|\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{x^{2n}}\right| = \left|\frac{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}\right|.

Passo 3

Agora vemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como esse limite é 0 para todo x, o teste da razão garante convergência para qualquer valor de x.

Passo 4

Quando o limite do teste da razão é 0, isso equivale a dizer que o raio de convergência é infinito, isto é,
R = \infty.
Logo, o intervalo de convergência é todo o eixo real:
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

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