Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isto é um problema de determinação de convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão, calculamos
Passo 3
Agora vemos o limite quando
:
Como esse limite é
para todo
, o teste da razão garante convergência para qualquer valor de
.
Passo 4
Quando o limite do teste da razão é
, isso equivale a dizer que o raio de convergência é infinito, isto é,
Logo, o intervalo de convergência é todo o eixo real:
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: